【课堂与技术】国家中小学智慧平台制作交互课件（二十）之——数学学科工具“植树工具”的应用

植树问题在小学数学中是一个学生容易迷惑的问题，学生缺乏世界的生活经验，教师在讲解的时候，学生容易或略到一些问题，如果借助一些直观的工具，学生理解会更透彻。

今天笔者就推荐价绍一款实用的教学工具，即国家中小学智慧平台制作交互课件数学学科工具“植树工具”，并介绍其应用。

应用方法介绍：

上方圈1，可以拖动，改变植树的间距。

拖动圈2，可以改变栽树的路长（总长度）

点击圈3，动画展示栽树的效果。

圈4——7显示数据。

下方三个按钮，选中某一个，显示相应的效果。

在植树记录上，有数据，可以根据数据进行计算，通过老师的点拨，让学生明白数据之间的关系，总结出公式。这个是植树问题，可以据此拓展到站队、灯笼、摆花等等问题。

附录：小学阶段各教材相关问题的编排和教学策略

一、 教材中的编排（以主流教材如人教版、北师大版、苏教版等为例）

1. 早期渗透（低年级 – 一、二年级）：

• 并非直接出现“栽树”应用题。

• 在认识数、比较多少、简单的加减法应用中，会涉及间隔排列的物体（如彩旗、灯笼、小朋友排队、花朵等）。

• 重点：让学生直观感受“物体”和“间隔”的存在，能数出它们的数量。例如：“路两边有5面彩旗，它们之间有几个空？” 初步建立“物体数”和“间隔数”可能相等的感性认识（如封闭图形或特定排列）。

• 目标：积累关于“间隔”的初步经验。

2. 正式引入与基础模型建立（中年级 – 三年级为主）：

• 两端都栽：棵树 = 间隔数 + 1

• 只栽一端（或一端是建筑物/障碍物）：棵树 = 间隔数

• 两端都不栽：棵树 = 间隔数 – 1

• 典型单元：通常在三年级上册或下册的“数学广角”、“解决问题”或专门单元中出现。

• 核心模型：集中学习三种基本类型：

• 情境：以在一条直线上植树为主要情境。题目会明确给出总长度和间隔距离（株距），要求计算棵数；或者给出棵数和株距，求总长；或者给出总长和棵数，求株距。

• 关键概念：明确引入并强调“间隔数 = 总长 ÷ 株距”这个核心关系式。理解“棵数”与“间隔数”的关系是重点和难点。

• 方法：教材会大量使用图示法（画线段图）来帮助学生理解抽象的数量关系。鼓励学生动手画图、用小棒模拟等。

• 目标：建立清晰的数学模型，理解三种基本情况的本质区别，掌握基本公式的推导和应用。

3. 巩固、拓展与应用（中高年级 – 四、五年级）：

• 路的两边都栽：先求一边的棵数，再×2。

• 间隔距离变化：不同路段有不同的株距。

• 方阵问题（植树问题的二维拓展）：虽然有时单独讨论，但核心思想与间隔相关。

• 与其他问题结合：如时间问题（敲钟）、楼梯问题、锯木头问题等，本质都是“点段关系”，引导学生发现其模型与栽树问题的一致性（即都是间隔问题）。

• 核心模型：棵树 = 间隔数 （因为首尾相接，相当于“只栽一端”的模型）

• 强调：封闭图形中，总长 = 间隔数 × 株距 = 棵数 × 株距。

• 封闭图形（环形）栽树：在四年级左右，会引入在圆形池塘、花坛、操场等封闭图形周围栽树的问题。

• 复杂情境与变式：

• 提高要求：更注重分析能力、灵活运用模型的能力、解决稍复杂综合问题的能力。题目条件可能更隐蔽，需要学生自己识别出属于哪种模型。

• 方法：继续强调画图分析，同时培养学生抽象建模的能力，能从具体情境中提炼出“点”（树）和“段”（间隔）的关系。

二、 教学策略

1. 强调直观感知与操作体验：

• 用一条线段代表“路”。

• 用“点”或“短竖线”代表“树”。

• 清晰地标出“总长”、“株距（间隔长度）”、“间隔数”、“棵数”。

• 用不同的标记区分“两端栽”、“一端栽”、“两端不栽”。

• 目标：让学生看到图就能理解数量关系，避免死记硬背公式。

• 实物模拟：让学生用小棒（代表树）、尺子（代表路）、橡皮筋（代表间隔）在课桌上实际操作，感受不同栽法下棵数与间隔数的关系。例如，用5根小棒代表树，数数它们之间形成几个间隔。

• 身体演示：让几个学生站成一排，扮演“树”，其他学生观察“树”与“间隔”的数量关系（手拉手可以模拟封闭图形）。

• 画图（线段图）是核心策略：这是解决栽树问题最有效、最直观的方法。教师必须反复示范、严格要求学生画图。

2. 聚焦核心关系：间隔数 = 总长 ÷ 株距：

• 在引入棵数与间隔数的关系之前，必须牢牢建立这个等式。它是整个问题的基础。

• 通过测量活动、画图计算等方式，让学生深刻理解“间隔数”是如何由总长和株距决定的。

3. 对比探究三种基本模型：

• 不要孤立教学。将三种情况（两端栽、一端栽、两端不栽）放在一起对比教学。

• 设计对比性题目：相同的总长和株距，改变栽种方式，观察棵数的变化。

• 引导学生发现规律：通过画图、列表格等方式，让学生自己总结出“棵树 = 间隔数 +1 / = 间隔数 / = 间隔数 -1”的规律。理解“为什么”比记住公式更重要。关键点在于“点”比“段”多1（两端栽）、“点”等于“段”（一端栽）、“点”比“段”少1（两端不栽）。

• 明确关键点：强调“两端”这个条件的重要性，判断清楚起点和终点是否栽树是解题第一步。

4. 从“模型”角度理解封闭图形：

• 引导学生将封闭图形（如圆）“剪开拉直”，与之前的直线模型建立联系。发现首尾两棵树重合了（或者说，第一棵树既是起点也是终点），因此相当于“只栽一端”的模型，棵数=间隔数。

• 通过画圆、在圆周上点“点”来直观感受。

5. 重视语言表述与模型提炼：

• 鼓励学生用自己的话解释数量关系（如：“因为两头都栽，所以树比间隔多一个”）。

• 引导学生识别不同情境中的“点”和“段”：树是点，间隔是段；路灯是点，间隔是段；钟声是点，间隔时间是段；楼层是点，楼梯是段。建立“间隔问题”的通用模型意识。

• 强调解题步骤：

1. 仔细读题，明确情境（直路？封闭？两边？）。

2. 判断栽种方式（两端、一端、两端都不栽？）。

3. 计算间隔数 = 总长 ÷ 株距(注意单位统一！)。

4. 根据栽种方式确定棵数与间隔数的关系。

5. 计算求解（注意两边栽要×2等）。

6. 画图验证（非常重要！）。

6. 分层练习与变式训练：

• 已知棵数和株距，求总长。

• 已知总长和棵数，求株距。

• 路两边都栽。

• 起点或终点有障碍物（自动归入“只栽一端”或“两端不栽”）。

• 不同路段不同株距（分段计算）。

• 与其他间隔问题（敲钟、爬楼、锯木头）结合。

• 逆向思维问题（如：知道棵数和间隔数关系求株距范围）。

• 基础巩固：直接应用三种基本模型和封闭模型的标准题。

• 变式应用：

• 开放性问题：如设计一个植树方案，满足特定要求。

• 易错题辨析：专门设计容易混淆的题目（如封闭图形误用直线公式，路两边栽忘记×2，单位不统一等），进行讨论分析。

7. 利用信息技术：

• 使用动画演示栽树过程，动态展示点段关系的变化。

• 利用交互式白板工具让学生拖拽“树”和“间隔”，直观理解关系。

8. 联系生活实际：

• 引导学生发现生活中的“栽树问题”原型：街道旁的树木、电线杆、路灯、操场插彩旗、围栏的柱子、排队做操、钟表报时、爬楼梯、锯木头、方阵队列等。体会数学的广泛应用。

总结

小学数学教材对“栽树问题”的编排遵循了由浅入深、由直观到抽象、由单一到综合的原则。教学的关键在于：

1. 强化直观：通过操作、画图（尤其是线段图）让学生“看见”点（树）和段（间隔）的关系。

2. 吃透基础：深刻理解间隔数 = 总长 ÷ 株距和三种基本模型（两端栽、一端栽、两端不栽）的本质区别（点与段的数量关系）。

3. 对比建模：在对比中掌握规律，并提炼出通用的“间隔问题”数学模型。

4. 灵活应用：通过变式练习和联系生活，培养学生识别模型、迁移应用的能力。

5. 过程规范：强调解题步骤，特别是画图验证的习惯。

避免让学生死记硬背公式“棵树=总长÷间距+1”，一定要让他们理解这个“+1”或“-1”或“=间隔数”背后的道理，这才是解决所有间隔问题的核心能力。