【课堂与技术】国家中小学智慧平台制作交互课件（十六）之——数学学科工具“最短路径”的应用

以下是有关这个主题在中小学缴费中的一些编排和教学要求。后文笔者介绍国家智慧平台中“最短路径”工具的应用

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小学阶段：直观感知与简单应用

1. 基本概念（生活化场景）

• 在方格纸上寻找从A到B的最短路线（只能沿网格线走）。

• 蚂蚁爬行问题（如长方体外表面最短路径，需展开立体图形为平面）。

• 两点之间线段最短：通过生活实例（如小狗喝水问题、选择最近路线）直观理解“直线距离最短”的公理。

• 简单折线路径优化：

2. 典型题型

• “造桥选址”问题：在平行线间确定一条垂直线段使路径最短（如人教版四年级）。

• 轴对称转化法：利用对称将折线转化为直线（如将军饮马问题的最简形式）。

初中阶段：几何模型与代数方法

1. 核心模型与公理

• “两点之间线段最短”（七年级）：几何基本公理的直接应用。

• “垂线段最短”（七年级）：点到直线的最短距离。

2. 经典几何模型

• 类型1：同侧两点 → 作对称点 → 连线求直线路径（八年级轴对称）。

• 类型2：两定一动（点在直线上）→ 转化为两点间线段最短。

• 拓展：两动一定（如定长线段平移问题）。

• 将军饮马问题（轴对称转化）：

• 蚂蚁爬圆柱/圆锥：展开立体图形，利用勾股定理计算斜边最短（九年级投影与视图）。

3. 代数方法

• 坐标系中利用勾股定理计算两点距离（八年级）。

• 结合一次函数求动态路径最小值（八年级）。

高中阶段：图论与算法

1. 图论基础（选择性必修）

• Dijkstra算法：单源非负权图的最短路径（必修一《函数与算法》或信息技术教材）。

• Floyd算法：多源最短路径（部分选修教材）。

• 图的基本概念：顶点、边、权重、路径。

• 最短路径算法：

2. 实际应用

• 交通网络优化（地铁换乘、快递路线）。

• 通信网络布线问题。

3. 跨学科渗透

• 物理：光在介质中的最短时间路径（费马原理）。

• 信息技术：编程实现Dijkstra算法（Python/C++）。

典型教材分布

教学要点

• 小学：注重动手操作（如用绳子比划）、画图实践，培养空间直觉。

• 初中：强化几何模型（对称转化）和代数工具（勾股定理）的结合。

• 高中：强调算法逻辑，通过编程实践深化理解（如用Python模拟Dijkstra）。

注：具体内容可能因教材版本（人教版、北师大版、苏教版等）和地区有所差异，但核心脉络一致：从生活直观→几何模型→算法解决，逐步提升抽象思维与应用能力。

笔者开始介绍“最短路径”的应用方法